Görsel Zeka / Matematik ve Görsel Öğrenme: Genel olarak matematiksel formül ve kavramlar,sembollerle anlatılmakta, ve sonucun ezberlenmesi istenmektedir.
Semboller yerine görsellerle çalışmak, bilgilerin körü körüne ezberlenmeye çalışılmasının aksine, öğrenmeyi kolaylaştırıyor.
Öğrenilen bilgilerin hafızada kalması için bir anlamının olması gerekiyor. Ayrıca öğrenilen bilginin gerçek hayattta uygulama örneklerinin olduğunun bilinmesi, ciddi bir öğrenme motivasyonu sağlıyor.
İki Kare Farkı / Görsel Anlatım
Matematik ve Görsel Öğrenme: Örnek olarak Üniversite sınavlarına hazırlanırken çoğu öğrencinin ezberlediği formüller arasında olan, “İki Kare Farkı” veya diğer bir ifadeyle “(a2 – b2) nin Çarpanları” konusuna değineceğim.
Ayrıca bu bilginin günlük hayatta kullanılabileceğiniz bazı pratik uygulamalarına örnekler de vereceğim.
İki kare farkı formülü şudur:
a2 – b2 = (a – b) x (a + b)
Bu formül geleneksel olarak sembollerle “(a – b) x (a + b)” parantez çarpımlarının yapılarak, sadeleştirmelerle birlikte sonucun “a2 – b2“ye eşit olduğu gösterilerek anlatılıyor veya ispatlanıyor.
İşte geleneksel ispat:
(a – b) x (a + b) = a2 +ab -ab – b2 = a2 – b2
Sonuç olarak da;
a2 – b2 = (a – b) x (a + b)
formülünü ezbelememiz isteniyor.
Bu anlatıma itirazım yok. Ancak bunlar sadece semboller ve yöntem de soyut bir ispat. Kafamda geniş bir anlam oluşturmadı. Günlük hayatta işime yarayacak bir örnek uygulama da göremedim.
Aynı konunun görsellerle de sunulması ve pratik açıklamaların da işin içine dahil edilmesi gerektiğini söylüyorum. Çünkü öğrenmede dominant algılama görselliktir. İnsan hafızası temel olarak ilişkilerle oluşuyor ve resimlerle çalışıyor.
Şimdi bu konunun görsel açıklamasına gelelim;
Not: Makalenin bundan sonrasını metin olarak okumak yerine görsel anlatımlar ve animasyonlar olarak izlemek isterseniz aşağıda verilen video klibi izleyebilirsiniz;
Matematiğin Görsel Anlatımı
Matematik ve Görsel Öğrenme: Önce kenar uzunluğu “a” olan bir kare çizelim.
Kırkızı renkle gösterilen bu karenin alanı “a2“dir.
Bu kare şeklin sağ alt köşesinden bir kenarı “b” olan daha küçük bir kare parçayı çıkartalım.
(Görsel anlatımla ilgili şekilleri yukarıda verilen video klipten izleyebilirsiniz.)
Bu durumda oluşan yeni kırmızı şeklin alanı “a2 – b2“ye eşit olacaktır.
Toplam alanı “a2 – b2“ye eşit olan bu yeni kırmızı şekli iki dikdörtgen parçaya ayırarak bazı önemli kenar ölçülerini yazalım.
Şimdi iki dikdörtgen parçadan oluşan bu şeklin bir kopyası üzerinde çalışalım.
Sağ taraftaki küçük dikdörtgen parçayı yukarı kaydırarak soldaki dikdörtgenin üzerine yatıralım.
Böylece toplam alanı hala “a2 – b2“ye eşit olan, tek bir dikdörtgen elde etmiş oluruz.
Bu dikdörtgenin boyu “a + b” ve eni de “a – b”dir.
Toplam alanının “a2 – b2“ye eşit olduğunu bildiğimiz bu şeklin alanı, aynı zamanda bu dikdörtgenin kenar boyutları olan (a + b) ile (a – b)nin çarpımına da eşit olacaktır.
Sonuç;
a2 – b2 = (a – b) x (a + b)
Matematiği Ezberlemeyin, Öğrenin!
Bu formülden şöyle bir sonuç çıkartabiliriz;
Aralarında 2, 4, 6, 8, 10 gibi çift sayı fark olan çarpımların sonucunu iki kare farkı şeklinde de bulabiliriz. Çünkü bu tip sayıların arasında her iki sayıya da eşit uzaklıkta ortada bir sayı vardır.
Örnek olarak 4 ile 6’yı alalım; İki sayının arasında “6-4 = 2” fark vardır. Yani her iki sayının ortasında her iki sayıya da eşit uzaklıkta “5”sayısı vardır.
“4= 5 -1”dir; ve “6 = 5 + 1”dir.
Bu durumda;
4 x 6 çarpımını “(5 – 1) x (5 + 1)” olarak da düşünebiliriz.
Bu yeni açılım (a – b) x (a + b) şekline dönüşmüş olur.Böylece bizim sorumuz özelinde;
“a = 5” ve “b = 1” olur ve;
4 x 6 = (5 -1) x (5 + 1) = 52 – 12
Kısaca yazarsak;
4 x 6 = 52 – 12
olur.
Bu işlemin sonucunu bulmak için ister “4” ile “6”yı direkt çarparsınız. Ya da ortadaki sayı olan “5”in karesinden “1”in karesini çıkartırsınız. Her ikisi de aynı sonucu verir.
4 x 6 = 24’tür.
52 – 12 = 25 – 1 = 24’tür.
Bu bilgi böyle küçük sayıların çarpımında bir fayda sağlamayabilir. Ancak zihinsel olarak çarpılması zor olan “78 x 82”, 94 x 86” ve “48 x 62” gibi çarpımlarda olağanüstü avantajlar sağlayabilir.
Bu tip avantaj sağlayan örneklere geçmeden önce birkaç başka pratik bilgiye değinmek istiyorum;
Sonu “0” Olan Sayıların Karesi
10, 20, 30, 40, 50, 60,70, 80 ve 90 gibi sonu sıfır olan sayıların karesini akıldan bulmak çok kolaydır. Yapmanız gereken şey sıfırı yok sayıp, tek haneli olarak sayının karesini alıp, yanına iki adet sıfır koymaktır.
Örneğin 80’nin karesini bulalım.
Sıfırı yok sayıp, 8’in karesini alıp (8 kere 8, 64), sonra 64’ün yanına iki adet sıfır koyuyoruz.
Özet olarak 80’nin karesi 6400’dür diyoruz.
Şimdi bir başka örneğe; “78 x 82” işlemine göz atalım.
Bu örnekte, 78 ile 82’nin tam ortasında ve her iki sayıya esşit uzaklıkta olan bir sayı var. Bu sayı 80’dir.
Bu durumda 78 x 82 çarpımını “(80 – 2) x (80 + 2)” gibi düşünebilirsiniz.
Bu çarpım, a’nın 80, b’nin de 2 olduğu bir iki kare farkı gibi (a – b) x (a + b) şeklinde bir işlemdir.
“(80 – 2) x (80 + 2) = 802 – 22 olacaktır. 80’nin karesinin sıfır yok sayılarak akıldan yapılarak 6400’e eşit olduğunu bulmanın kolaylığından bahsetmiştim.
6400’den 22 olan 4’ü çıkartarak bu çarpımın sonucunu bulabilirsiniz.
Cevap, 6400 – 4 = 6396’dır.
Yine bir başka örnek olarak, “31 x 29” çarpımının, “(30 + 1) x (30 – 1)”e eşit olduğunu farkederseniz, bu çarpım sonucunun da (302 – 12)”sine eşit olacağını anlarsınız.
30’un karesi 900 eder. Bundan 1’in karesini çıkartırsak, sonuç 899 olur.
Bu bilgiler ışığında siz de şu çarpımların sonuçlarını hesap makinesi kullanmadan zihinsel olarak bulabilirsiniz.
57 x 63 = ?
71 x 69 = ?
45 x 35 = ?
Sonu “5” Olan Sayıların Karesi
Ayrıca 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 ve 95 gibi sonu “5”olan sayıların karesini akıldan bulmak da çok kolaydır. Yapmanız gereken şey onlar hanesindeki sayıyı bir fazlasıyla çarpıp, elde edilen sayının sağ tarafına 25 yazmaktır. Çünkü sonu “5” olan sayıların hepsinin de son iki hanesi 25 olmaktadır.
Örnek olarak 25’in karesini bulalım. Bu sayının 10’lar hanesindeki sayı “2”dir. Önce 2’yi 2’nin bir fazlası olan 3 ile çarpıp yazmamız gerekiyor. 2 x3 = 6 eder.
6’yi yazın yanına da 25 yazın.
Sonuç 625 eder.
Benzer şekilde;
452 = 2025
652 = 4225
852 = 7225’tir.
Şimdi bir başka örneğe; “27 x 23” işlemine göz atalım.
Bu örnekte, 27 ile 23’ün tam ortasında ve her iki sayıya eşit uzaklıkta olan bir sayı var. Bu sayı 25’tir.
Bu durumda 27 x 23 çarpımını “(25 + 2) x (25 – 2)” gibi düşünebilirsiniz.
Bu çarpım, a’nın 25, b’nin de 2 olduğu bir iki kare farkı gibi (a – b) x (a + b) şeklinde bir işlemdir.
“(25 + 2) x (25 – 2) = 252 – 22 olacaktır.
Sonu “5” olan 25’in karesinin 625’e eşit olduğunu bulmanın kolaylığından bahsetmiştim.
625’den 22 olan 4’ü çıkartarak bu çarpımın sonucunu bulabilirsiniz.
Cevap, 621 olacaktır.
Bu bilgiler ışığında siz de şu çarpımların sonuçlarını hesap makinesi kullanmadan zihinsel olarak bulabilirsiniz.
53 x 57 = ?
49 x 41 = ?
94 x 96 = ?
Bu tip pratik bilgilere ilgi duyuyor ve matematiğin eğlenceli tarafını keşfetmek istiyorsanız, Mega Hafıza’nın “Mega Matematik” setini, ve 5 ile 12 yaş aralığındaki çocuklar için olan “Mega Aritmetik Beyin Egzersizleri ve Zeka Oyunları” eğitim programlarını inceleyebilirsiniz.
