Ayın Matematik Sorusu

Ayın Matematik Sorusu: Aşağıda verilen soru www.KisiselGelisim.com okurları için hazırlanmıştır. Lütfen cevaplarınızı aşağıdaki yorumlar bölümünden yazınız.

Seviye: Sorunun seviyesi lise, üniversite, yüksek lisans öğrencileri ve en az lise mezunu olan yetişkinlerdir.

Kim bilir, aynı mantıkla çözülebilecek buna benzer bir soru üniversite giriş sınavlarında da çıkabilir. Bu soru ile uğraşarak çözüm bulan üniversiteye hazırlanan lise öğrencileri ve mezunlar için de bir çeşit hazırlık çalışması olabilir.

Sorunun alternatif çözüm yolları ay sonunda bu makalenin alt bölümünde yayınlanacaktır. İşte ayın sorusu:

ayın matematik zeka sorusu

Bu ayın sorusunda aynı soruyla ilgili 2 soru mevcuttur:

1, 2, 3, 4, 5

Soru-1) Her sayıda 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarından sadece birer tane olacak şekilde kaç tane 5 basamaklı pozitif tamsayı oluşturulabilir?

Soru-2) Birinci soruda sorulan şekilde oluşturulan pozitif tam sayılar en küçüğünden en büyüğüne doğru sırayla dizilirse, listedeki 100. sayı ne olur?

DİKKAT! Cevabınızı aşağıdaki yorumlar kısmından yazabilirsiniz. İsteyen açıklamalarını da ekleyebilir. Cevap yazmadan, yorumlar bölümüne “Çözüm yayınlanınca bilgi verin” yazanlara, sorunun çözümü bu sayfada yayınlandığında mesajla bilgi verilecektir.

Cevabınızı aşağıdaki yorumlar bölümüne yazınız.

*******

Test Sorusunun Cevaplarını Görmek İçin Buraya Tıklayınız

Sorunun cevabı ve açıklama!

Bu ayın sorusunun altında, diğer matematik sorularının aksine çok sayıda cevap göremedim.

Bu problemin çözümü için muhtemelen çoğunuz faktoriyel, permütasyon ve kombinasyon gibi lisede matematik veya üniversite döneminde istatistik derslerinde öğrendiğiniz konuları hatırlamanız gerektiğini düşündünüz.

Şüphesiz dönüp tekrar o konuları hatırlamak için bir araştırma yapmaktan da üşendiniz. Sonuç az sayıda cevap yazılması…

Aslında bu tip problemlerin çözümünde daha önce öğrendiğiniz ve unuttuğunuz formülleri hatırlamak yerine, formülleri kendinizin çıkartabileceği bir akıl yürütme mantığına sahip olmalısınız.

Bu problemin çözümünde, genel anlamda problem çözümlerine büyük kolaylıklar getiren ve sizi direkt çözüme götüren bir teknik olan “ASİT (Advanced Systematic Inventive Thinking) – Yaratıcı Düşünme Teknikleri“nden birini kullanarak çözümü anlatacağım. Ayrıca faktoriyel, permütasyon ve kombinasyon gibi daha önceden ezberleyip de unuttuğunuz formülleri hatırlamanız da gerekmiyor. “ASİT”in önerdiği tekniklerden birini kullanarak formülleri basit bir akıl yürütmeyle birlikte çıkartacağız. Kullanacağımız yöntem “ASİT – Bölme Tekniği“.

“ASİT” – Bölme Tekniği

ASİT Bölme Tekniği karmaşık görünen problemleri bölmemizi, basite indirgememizi ve basit üzerinden elde ettiğimiz sonuçları karmaşık gibi görünen probleme uygulamamızı öneriyor.

Tamam, biz de öyle yapalım. Problemi önce bölüp küçültelim, yani basitleştirelim. Basit üzerinden çözüm üretip, çözümü karmaşık görünen probleme uygulayalım. O zaman problemde 1,2,3,4,5 değil de, sadece 1,2,3 olduğu halde problemin basit haline bakalım. Bu durumda problem şu hale gelecektir:

Bu ayın sorusunun bölünmüş basit halindeki 2 soru şu şekilde olur:

1, 2, 3

Soru-1) Her sayıda 1, 2, 3 rakamlarından sadece birer tane olacak şekilde kaç tane 3 basamaklı pozitif tamsayı oluşturulabilir?

Soru-2) Birinci soruda sorulan şekilde oluşturulan pozitif tam sayılar en küçüğünden en büyüğüne doğru sırayla dizilirse, listedeki örneğin son sayı ne olur?

1,2,3,4,5 sayılarından oluşan birçok sayıyı tek tek yazmak zordu. Ama sadece 1,2,3 sayılarından oluşan tüm sayı kombinasyonlarını yazıp, buradan kendim bir çözüm çıkartabilirim.

Hatta genel çözümü bulmak için;

Sadece “1” olsaydı kaç adet “bir haneli sayı” yazabilirim?
Sadece “1,2” olsaydı kaç adet “iki haneli sayı” yazabilirim?
Sadece “1,2,3” olsaydı kaç adet “üçhaneli sayı” yazabilirim?

gibi basit soru çözümlerini kıyas ederek “genel bir çözüm” veya “formül” de çıkartabilirim.

“Sadece “1” olsaydı kaç adet “bir haneli sayı” yazabilirim?” sorusunun cevabı çok basittir.

“1” → sadece “1” adet sayı yazabiliyorum.

“Sadece “1,2” olsaydı kaç adet “iki haneli sayı” yazabilirim?” sorusunun cevabı da çok basittir.

“12, 21” → sadece “2” adet sayı yazabiliyorum.

“Sadece “1,2,3” olsaydı kaç adet “üç haneli sayı” yazabilirim?” sorusunun cevabı da basittir.

“123, 132, 213, 231, 312, 321” → sadece “6” adet sayı yazabiliyorum.

Bu üç basit sorunun cevabını yazdığımda; 1 rakam olunca “1” adet sayı yazılabilmesi, 2 rakam olunca “2” adet sayı yazılabilmesi, ve 3 rakam olunca “6” adet sayı yazılabilmesi, “n” adet rakam için sonucun “n!” (n faktöriyel) gibi bir formülle bulunabileceğini görmemi sağlıyor.

Sadece “1” adet rakamla “kaç adet bir haneli sayı” yazabilirim? “1! = 1”
Sadece “2” adet rakamla “kaç adet iki haneli sayı” yazabilirim? “2! = 1×2 = 2”
Sadece “3” adet rakamla “kaç adet üçhaneli sayı” yazabilirim? “3! = 1x2x3 = 6

Elde Edilen Genel Sonuç:

“n” adet rakamla “n!” adet sayı yazılabiliyor.

Bizim problemimizde “5” adet rakam vardı. Bu durumda Bu durumda “Her sayıda 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarından sadece birer tane olacak şekilde kaç tane 5 basamaklı pozitif tamsayı oluşturulabilir?” sorusunun cevabı:

Cevap-1) 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 adet olacaktır.

Basitleştirilmiş sorunun ikinci şıkkındaki soru da bu üç rakamla (1,2,3 için) yazılabilecek en büyük sayının ne olduğuydu. Bunun mantığı da şu; rakamları en büyüğünün her defasında en solda olduğu bir sayı yazmaya çalışmalıyım. 1,2,3 için bu sayı “321”dir.

Şimdi gerçek sorunun (1,2,3,4,5 için) ikinci şıkkının çözümüne gelelim:

Soru-2) Birinci soruda sorulan (1,2,3,4,5 için) şekilde oluşturulan pozitif tam sayılar en küçüğünden en büyüğüne doğru sırayla dizilirse, listedeki 100. sayı ne olur?

Birinci sorunun cevabından (120 / 5 = 24) her bir rakam başta olmak üzere “24” adet sayı yazabileceğimi anlıyorum.

Bu şu demek: küçükten büyüğe, “1xxxx” şeklinde 24 adet sayı, “2xxxx” şeklinde 24 adet sayı, “3xxxx” şeklinde 24 adet sayı, “4xxxx” şeklinde 24 adet sayı, ve “5xxxx” şeklinde 24 adet sayı yazılabiliyor. Buradan şunu anlıyoruz: 1xxxx, 2xxxx,3xxxx ve 4xxxx sayı alternatiflerinin yazılması ilk”(24×4=) 96” sıralamayı tutacaktır. Bu durumda 97. sayı, başında “5” yazan en küçük beş haneli sayı olacaktır. 100. sıradaki aradığımız sayı başında “5” olan en küçükten en büyüğe doğru yazılacak 4. sayıdır. Esasen gerek yok, ama ilk 96 sayıyı kaba bir sıralamayla en küçükten en büyüğe sembolik olarak yazarsak sıralama şöyle olur:

Başta “1” olan “5 haneli sayılar”:
12345 (1 ile başlayan en küçük sayı) → baştan 1.
1….
15432 (1 ile başlayan en büyük sayı) toplam 24 adet → baştan 24.
Başta “2” olan “5 haneli sayılar”:
21345 (2 ile başlayan en küçük sayı) → baştan 25.
2….
25431 (2 ile başlayan en büyük sayı) toplam 24 adet → baştan 48.
Başta “3” olan “5 haneli sayılar”:
31245 (3 ile başlayan en küçük sayı) → baştan 49.
3….
35421 (3 ile başlayan en büyük sayı) toplam 24 adet → baştan 72.
Başta “4” olan “5 haneli sayılar”:
41235 (4 ile başlayan en küçük sayı) → baştan 73.
4….
45321 (4 ile başlayan en büyük sayı) toplam 24 adet → baştan 96.

Şimdi başında “5” olup diğer haneleri “1,2,3,4” olan en küçükten büyüğe doğru 4. sıradaki (en baştan 100.ye karşılık geliyor) beş haneli sayıları yazalım;