Asal Sayı Nedir? 1 Asal Sayı Mıdır? 1 Asal Sayı Değilse, Neden Değildir?

1 Asal Sayı Mıdır? Değilse Neden? 1’in asal sayı olup olmadığı çoğu insanın kafasını karıştırmıştır. Öğrencilik yıllarımda benim de kafamı karıştırmıştı. Çünkü asal sayıların tarifi 1’e de tıpa tıp uyuyordu.

TED Karabük Koleji’nde Matematik öğretmenimiz olan Günay Arısoy ders anlatırken, tahtaya 20’ye kadar olan asal sayılar olarak:

1’den 20’ye Kadar Olan Asal Sayılar

“2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19“

yazmıştı. Not tutarken genellikle dikkat ederdim, ama buna dikkat etmemişim. Her akşam gün içinde aldığım notlara göz atıp üzerinden tekrar geçerdim. Notlarıma bakarken şunu fark ettim. “1” asal sayıların tarifine uyduğu halde hocamız listede “1”i yazmamıştı.

Önce asal sayıların tarifine bir bakalım:

Asal Sayı Nedir?

Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen pozitif tam sayıya “asal sayı” denir.

Bu tarife göre “1” de hem kendisine, hem de “1”e bölünebiliyordu. Öyleyse “1” de bir asal sayı olmalıydı, ama hocamız “1’den 20’ye kadar olan asal sayılar” listesinde “1”i yazmamıştı. “Bilerek mi yazmadı, yoksa yanlışlık mı yaptı?” diye düşündüm. Bu soruyu Günay Arısoy hocamıza sormaya karar verdim.

Ertesi günü hocamıza “1 asal sayı mıdır?” diye sordum. Kesin bir tavırla “Hayır!” dedi.

1 Asal Sayı Mıdır? – Hayır!

“Nasıl olur, hocam? 1 de hem kendisine, hem de 1’e bölünebiliyor!” diye kibarca itiraz ettim.

O da bana “Bunun cevabı Aritmetiğin Temel Teoremi’nde gizli!” diye cevap verdi. Ve bana “Aritmetiğin Temel Teoremi“ni söyledi.

Aritmetiğin Temel Teoremi

Herhangi bir sayı ya asaldır, ya da asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir.

Bana asal sayıların sayı teorisinin yapıtaşları olduğunu söyledi. Asal sayı olmayan diğer sayıların hepsinin asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabileceğini vurguladı. “Önce 1’i ayrı tutalım. 1’in neden asal sayı olmadığı için ayrıca söyleyeceklerim var. Gel istersen 20’ye kadar asal sayı olmayan diğer sayıların asal sayıların tek bir biçimde yazılmasının ne demek olduğuna bakalım” dedi. Ve bir kâğıda şunları yazdı.

2: asal sayı
3: asal sayı
4: 4 = 2 x 2 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
5: asal sayı
6: 6 = 2 x 3 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
7: asal sayı
8: 8 = 2 x 2 x 2 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
9: 9 = 3 x 3 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
10: 10 = 2 x 5 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
11: asal sayı
12: 12 = 2 x 2 x 3 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
13: asal sayı
14: 14 = 2 x 7 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
15: 15 = 3 x 5 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
16: 16 = 2 x 2 x 2 x 2 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
17: asal sayı
18: 18 = 2 x 3 x 3 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)
19: asal sayı
20: 20 = 2 x 2 x 5 (asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor)

Asal sayıların dışındaki diğer sayıların asal sayıların tek bir biçimde çarpılmasıyla yazılabilmesi esrarengiz gelmişti o an. Ve “Hocam, o zaman diğer sayılara gerek bile yok. Diğer tüm sayılar asal sayıların çarpımıyla yazılabiliyor!” cümlesi çıkıverdi ağzımdan.

“O kadar da değil!” dedi hocam ve şöyle devam etti. “Aritmetiğin Temel Teoremi ile bir uyumsuzluk olmasın diye 1 sayısı matematik tarihinde bir dönem sayı olarak bile kabul edilmemiştir. 1 sayısı asal sayı kabul edilseydi diğer sayıların asal sayıların TEK bir biçimde çarpılmasıyla yazılabilmesi kuralı geçerli olmazdı!“

Ve söylediklerini “1 asal sayı olsaydı” seçeneğiyle kâğıt üzerinde şöyle anlattı:

Örneğin “6” sayısını ele alalım. Şu anda “6” sayısını asal sayıların TEK bir biçimde, şu şekilde yazabiliyoruz.

6 = 2 x 3

Bir an “1” de asal sayı kabul edilseydi TEK bir biçimde şöyle yazılabilirdi diye düşünebilirsiniz:

6 = 1 x 2 x 3

Matematik kesindir, ifade TEK diyorsa tek olmalı. Bakın “1” asal sayı olursa “6”yı kaç farklı şekilde yazabiliyoruz.

6 = 2 x 3
6 = 1 x 2 x 3
6 = 1 x 1 x 2 x 3
6 = 1 x 1 x 1 x 2 x 3
…
6 = 1ⁿ x 2 x 3

Hocam ayrıca, “Asal sayıların tarifini kafanda şöyle düşünürsen 1 sayısının asal sayı olup olmadığı sorusu kafanı karıştırmaz” dedi.

Asal Sayı Nedir?

Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, yani bir tanesi “1” olmak üzere toplamda iki tane böleni olan pozitif tam sayıya “asal sayı” denir.

Evet, bu tarif kafamdaki soruyu çözmüştü. 1’in bir tanesi “1” olmak üzere iki tane böleni yoktu.

Öğrencilik yıllarında sayıların temelinin asal sayılar olduğu gerçeğini ve diğer sayıların hepsinin de asal sayıların tek bir biçimde çarpılmasıyla elde edildiğini kaç öğrenci yakalamıştır bilmiyorum. Ama fark etmemişlerse veya öğretmenleri bunu fark etmelerini sağlayamamışsa, matematik temellerinde bir yerlerde eksikler olması ihtimali vardır diyebilirim.